Positions du soleil et de la lune par rapport à la terre




L'idée de ce document m'est venue lorsqu'un ami a construit un planétaire re­produisant les mouvements du soleil et de la lune par rapport à la terre. Les princi­paux termes utilisées pour définir l'heure, caractériser les positions des astres dans le ciel, construire un calendrier et comprendre le phénomène d'éclipses sont définis : écliptique, obliquité, précession, nutation, jour stellaire, jour sidéral, jour solaire, année sidérale, année tropique, équation du temps, mois lunaire, éclipses de lune, éclipses de soleil, calendriers de type solaire, lunaire ou luni-solaire, libration, ma­rées Puisque ce planétaire est animé par une horloge mécanique de précision, une annexe sur le principe des balanciers compensés en température a été ajouté (voir l'annexe 6). J'ai essayé de rendre cet exposé abor­dable à tout esprit curieux, même peu féru de mathéma­tique et de physique. Les lec­teurs soucieux d'approfon­dir leurs connais­sances trouverons des réfé­rences de sites internet et des renvois sous forme d'an­nexes en fin de document, plus complets et plus précis. Les données astrono­miques utilisée sont le plus souvent celles publiées par l'Institut de Mécanique Cé­leste et de Calcul des Éphémérides (I.M.C.C.E.) ; elle sont disponibles sur internet à l'adresse suivante : http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/. J'ai égale­ment utilisé certaines données figurant dans le livre de Jean MEEUS : « Calculs Astronomiques à l'usage des ama­teurs » ; ce livre est publié par la Société Astrono­mique de France. Les va­leurs précises d'un certain nombre de constantes ont été ob­tenues sur un site de l'Observatoire de Paris à l'adresse sui­vante :

http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants_fr.html.

Des précisions et des photographies sur le planétaire évoqué plus haut sont disponibles à l'adresse suivante :http://emmanuel-bouquet.fr/








Toute critique constructive et toute question seront les bienvenues à l'adresse mél suivante : vanoise49@hotmail.com











Table des matières

Partie I : Quel référentiel choisir pour un planétaire ? 4

I.1. Choix d'un référentiel héliocentrique ? 4

I.2. Choix d'un référentiel géocentrique ? 5

I.3. Choix d'un référentiel terrestre ? 7

Partie II : Comment repérer un astre dans le ciel ? 8

Partie III : jour sidéral et jour solaire. 9

III.1. Définition du jour solaire. 10

III.2. Jour solaire vrai et jour solaire moyen. 10

III.3. Jour solaire moyen et jour stellaire. 12

Partie IV : influence de la précession des équinoxes. 14

IV.1 Année sidérale et année tropique 14

IV.2. Année civile : calendriers julien et grégorien. 17

IV.3. Jour stellaire et jour sidéral. 17

Partie V : mouvement de la lune. 19

V.1 Complexité du mouvement. 19

V.2 Description simplifiée du mouvement de la lune dans le référentiel géocen­trique ; mois anomalistique. 20

V.3 Orientation de la trajectoire dans l'espace. 21

V.4 Influence du soleil sur l'inclinaison de la trajectoire. 22

V.5 Influence du soleil sur la forme et l'orientation de la trajectoire. 24

V.6 Les différentes périodes lunaires ou mois lunaires. 25

V.6.1 Mois anomalistique. 25

V.6.2 Mois sidéral. 25

V.6.3 Mois tropique. 26

V.6.4 Mois draconitique. 26

V.6.5 Les phases de la lune. 27

V.6.6 mois synodique. 29

V.6.7. Application aux calendriers solaire, lunaire et luni-solaire. 30

V.6.8. Rotation propre de la lune. 31

V.6.9. Libration de la lune. 32

V.6.9.a) Libration parallactique. 34

V.6.9.b) Libration en longitude. 35

V.6.9.c) Libration en longitude. 38

V.6.9.d) Synthèse sur la libration. 38

Partie VI : les éclipses. 39

VI.1 Les éclipses de lune. 39

VI.1.1. Définition et première condition d'obtention. 39

VI.1.2. Ombre et pénombre . 39

VI.1.3. Largeurs des zones d'ombre et de pénombre. 40

VI.1.4. Estimation de la durée d'une éclipse. 42

VI.1.5. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de lune. 43

VI.1.6.Prévision et périodicité des éclipses de lune ; le saros. 46

VI.1.7.Influence de l'atmosphère terrestre : déviation et diffusion de la lumière. 48

VI.1.8. Conditions de visibilité d'une éclipse de lune. 51

VI.2 Les éclipses de soleil. 51

VI.2.1. Définition et première condition d'obtention. 51

VI.2.2. Ombre et pénombre . 52

VI.2.3. Cas où le sommet du cône d'ombre est entre la lune et la terre : éclipse annulaire de soleil . 53

VI.2.4. Cas où le sommet du cône d'ombre est à l'intérieur de la terre ou à la surface de la terre : éclipse totale de soleil . 56

VI.2.5. Éclipse de soleil hybride. 56

VI.2.6. Zones d'observations d'une éclipse de soleil. 57

VI.2.7. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de soleil. 59

VI.2.8. Durées de visibilités des éclipses de soleil. 62

VI.2.8.a) Durée de visibilité pour un observateur fixe. 62

VI.2.8.b) Durée de visibilité à la surface de la terre. 63

VI.2.9. Périodicité des éclipses de soleil ; le saros. 64























Partie I : Quel référentiel choisir pour un planétaire ?


Pour comprendre l'importance de cette question, partons d'une situation simple fa­cile à imaginer : un cycliste roule à vitesse constante en ligne droite et intéressons-nous au mouvement d'un point à la périphérie d'une roue (point au plus près de la valve par exemple). Quel est le mouvement de ce point ? Deux (au moins) points de vue sont pos­sibles.

Première description : celle du cycliste regardant sa roue : le point est animé d'un mouvement circulaire à vitesse constante autour de l'axe de la roue. Ce mouvement est alors décrit par rapport à un solide de référence : ici le cadre du vélo. Ce solide de référence est appelé «  référentiel du mouve­ment ».

Remarque : se pencher pour regarder la roue n'est pas très commode ; on peut aussi se demander ce qu'enregistrerait une webcam fixée au vélo par une perche de façon à rester dans l'axe de la roue...

Deuxième description : celle faite par un spectateur immobile par rapport à la terre, regardant le cycliste passer. Le référentiel est cette fois-ci la terre. Le mouvement est alors beaucoup plus complexe : la trajectoire est une courbe appelée cycloïde. La figure du schéma n° 1 représente les positions successives tous les centièmes de seconde d'un point à la périphérie d'une roue de 0,70m de rayon lorsque le vélo se déplace par rapport à la terre à la vitesse de 36km/h (10m/s).

Remarque : cette fois-ci, la webcam serait fixée au bord de la route et filmerait la roue passant devant elle...

Cet exemple montre clairement que, selon que l'on choisit un référentiel ou un autre, la description du mouvement peut être radicalement différente.
schéma n° 1

Revenons maintenant à l'astronomie et plus précisément au système solaire.


I.1. Choix d'un référentiel héliocentrique ?

C'est le point de vue qu'adopterait un observateur (évidemment fictif…) placé au centre du soleil face à une étoile suffisamment éloignée pour être considérée comme fixe. Pour faciliter la description ultérieure des mouvement des planètes, on associe au réfé­rentiel héliocentrique un repère dit « repère héliocentrique ». L'origine de ce repère est le centre du soleil, ses trois axes pointent vers trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes.

Remarque : si cette idée « d'étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes » vous in­trigue, imaginez la situation simple suivante : vous êtes au bord de la mer et regardez un bateau à l'ho­rizon. Le bateau semble immobile et pourtant il se déplace à la surface de l'eau à une vitesse de quelques dizaines de kilomètres par heure. Alors bien sûr : les étoiles se déplacent par rapport au sys­tème solaire à des vitesses bien supérieures à celle du bateau mais elles sont tellement plus éloignées : au moins quarante mille milliards de kilomètres soit au moins 267000 fois la distance moyenne terre-so­leil !

Le mouvement des principales planètes du système solaire dans ce référentiel a été bien décrit par Képler au début du XVIIième siècle puis étudié théoriquement par Newton à la fin du même siècle. Le centre de chaque planète décrit un mouvement plan, tous ces plans ayant un point commun : le centre du soleil. Le plan particulier contenant le centre du soleil et la trajectoire de la terre est appelé « plan de l'écliptique ». En réalité, les plans des trajectoires des autres planètes sont très peu inclinés par rapport au plan de l'écliptique (au maximum 7° pour Mercure ; 1,8° pour Mars). Les trajectoires sont des ellipses de très faibles excentricités admettant le centre du soleil comme foyer. Dans ces conditions, on considère souvent, de façon un peu simplifiée, que tous les centres des planètes décrivent des cercles concentriques et coplanaires autour du centre du soleil de rayons différents. On appelle « an­née sidérale » pour une planète la période du mouvement de son centre, c'est à dire la durée nécessaire pour effectuer un tour complet, la mesure étant effectuée dans ce repère héliocentrique. Ainsi une année sidérale terrestre vaut 365,256363004 jours alors qu'une année sidérale de mars vaut environ 687 jours.


Remarque 1 : des animations du système solaire ainsi que des informations complémentaires sont dis­ponibles sur le site du CNES : http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/7626-le-systeme-solaire-en-version-interactive.php

Remarque 2 : pour plus de précisions sur les ellipses et leur excentricité : voir l'annexe 1.

On voit que le référentiel héliocentrique serait bien adapté à un planétaire présen­tant les mouvements des différentes planètes mais les mouvements des satellites de ces planètes seraient difficiles à reproduire mécaniquement (cas de la lune par exemple)


I.2. Choix d'un référentiel géocentrique ?







schéma n° 2

C'est le point de vue qu'adopterait un observateur (évidemment fictif…) placé au centre de la terre face à une étoile suffisamment éloignée pour être considérée comme fixe.

Comme pour le référentiel hélio­centrique, on associe à ce réfé­rentiel un « repère géocen­trique » dont l'origine est le centre de la terre et dont les trois axes pointent vers trois étoiles fixes. Ainsi le repère géo­centrique et le référentiel héliocentrique tournent l'un par rapport à l'autre, les différents axes gardant des directions fixes. Un mathématicien dirait que les deux repères sont en translation elliptique l'un par rapport à l'autre…

Pour un observateur géocentrique, c'est bien sûr le soleil qui tourne autour de la terre ! Dans le repère géocentrique, le centre S du soleil décrit dans le plan de l'écliptique une ellipse de faible excentricité identique à celle obtenue dans le repère héliocentrique. La durée d'un tour est la même : une année sidérale.


Remarque : cette affirmation est démontrée en annexe 2.






















schémas n°3 et 4

En revanche les trajectoires des centres des autres planètes dans le repère géocentrique sont assez complexes. Le schéma n° 3 représente dans le repère héliocentrique les trajectoires des centres de la terre (en bleu) et de mars (en rouge) sur une durée d'une année sidérale de la planète mars à partir du 1 janvier 2015. Le schéma n° 4 représente dans le repère géocentrique les trajectoires des centres du soleil (en bleu) et de mars (en rouge) sur la même durée. Les axes sont gradués en unités astronomique (une unité astronomique représente environ 150 millions de kilomètres). La figure de gauche illustre les propos tenus précédemment sur la vision héliocentrique des planètes. La figure de droite montre la trajectoire quasi circulaire du soleil mais aussi la complexité de la trajectoire de mars : celle-ci n'est pas fermée, on ne peut plus parler de mouvement périodique. On observe en mai-juin 2016 un phénomène curieux : au lieu de tourner régulièrement dans le même sens que le soleil, mars semble repartir en arrière tout en se rapprochant fortement de la terre pour re­prendre ensuite une trajectoire régulière : on parle de « rétrogradation » de mars.

Dans ces conditions, réaliser un planétaire représentant les différentes planètes et le soleil du point de vue géocentrique serait tout à fait impossible. Cependant, le plané­taire cherche à visualiser les positions relatives de trois astres seulement : la terre, le so­leil et la lune. Nous venons de le voir : le mouvement du soleil dans le repère géocen­trique est simple ; nous le verrons bientôt : le mouvement de la lune est un peu plus com­pliqué à simuler dans le repère géocentrique mais beaucoup moins qu'il ne le serait dans le repère héliocentrique. La conclusion s'impose : le plané­taire adopte le point de vue géocen­trique.

Dans ce repère géocentrique, le centre de la terre est fixe mais la terre n'est pas immobile pour autant : elle tourne sur elle-même autour de l'axe de ses pôles à raison d'un tour par jour stellaire. Un jour stellaire a pour durée : 23h56min4,1s. Nous verrons bientôt l'explication de la différence entre le jour stellaire et le jour de 24h. Au cours du temps, l'axe des pôles garde une direction inclinée d'un angle ε = 23°26' par rapport à la perpendiculaire au plan de l'écliptique. Cet angle ε est ap­pelé obliquité de l'écliptique.


Remarque 1 : de nombreux sites pro­posent des animations réus­sies des mouvements de mars, de la terre et du soleil dans les réfé­rentiels héliocen­trique et géocen­trique ; par exemple :

http://www.jf-noblet.fr/mouve2/planetes.htm

Remarque 2 : le fait que la direc­tion de l'axe des pôles reste pratiquement fixe sur une année est respon­sable du phénomène des saisons. Le très lent mouvement de cet axe sera décrit dans la partie II. Pour plus de préci­sions on peut consulter le site sui­vant :

http://philippe.boeuf.pagesperso-orange.fr/robert/astronomie/saisons.htm

Remarque 3 : on confond souvent jour stellaire et jour sidéral ; il est vrai que la différence entre leurs durées n'est que de 8,37 millièmes de seconde ! Nous expliquerons cela dans la partie IV.


I.3. Choix d'un référentiel terrestre ?

C'est le point de vue le plus familier : celui d'un observateur (bien réel celui-là ! ) immobile à la surface de la terre et regardant le ciel. Compte tenu de la rotation de la terre autour de l'axe des pôles et d'une obliquité non nulle, les mouvements de la lune et du soleil dans ce schéma n° 5                               référentiel sont extrêmement compliqués : pas question de construire un planétaire dans ce référentiel. Cependant, pour des raisons autant historiques que pratiques, l'heure est définie à partir du mouvement du soleil dans ce référentiel et le planétaire doit aussi faire office d'horloge ; la différence entre les durées sidérales (mesures dans le repère géocentrique) et les durées terrestres (mesures dans un repère terrestre) est source de bien des difficultés théoriques et de bien des engrenages dans un planétaire ! C'est ce que nous allons voir dans la suite !

Remarque : l'annexe n° 4 apporte quelques précisions sur les choix des engrenages à utiliser.


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Partie II : Comment repérer un astre dans le ciel ?

Dès que les distances entre un observateur et les objets qu'il regarde deviennent très supérieures à l'écar­tement de ses deux yeux ( ce qui est évi­demment le cas pour l'observation des astres ), le sens du relief est perdu  : impossible, en regardant deux astres, de dire lequel est le plus éloigné ; on peut seulement ( à l'aide d'une lu­nette astronomique par exemple) défi­nir leurs directions respectives. Puisque les distances importent peu pour la suite de notre étude, nous al­lons définir la sphère céleste de la façon suivante : c'est une sphère de rayon arbitraire ayant pour centre le centre de la terre ; elle est fixe dans le repère géocen­trique. Tout astre autre que la terre est représenté sur cette sphère par un point qui est l'intersection de la sphère céleste avec la droite passant par le centre de la terre et le centre de l'astre considéré. Les étoiles, considé­rées comme très éloignées du système solaire, y sont représentées par des points fixes.




L'intersection de la sphère avec le plan de l'éclip­tique est un cercle ap­pelé éclip­tique. Il est fixe sur la sphère cé­leste. Le point N : intersec­tion de la sphère céleste avec la per­pendiculaire au plan de l’écliptique est donc fixe. Le point représentant le soleil sur la sphère céleste se déplace sur l'écliptique dans le sens direct in­diqué par la flèche sur la figure. Les intersections de l'axe des pôles avec la sphère céleste sont les deux pôles cé­lestes nord et sud notés respective­ment P schéma n° 6                               et P' sur la figure du schéma n° 6. L'in­tersection de la sphère céleste avec le plan pas­sant par le centre O de la terre et perpendicu­laire à l'axe des pôles constitue l'équa­teur cé­leste. L'angle entre le plan de l'équateur et le plan de l'écliptique est l'obliquité ε déjà défini, c'est aussi l'angle entre les droites (OP) et (O

N) . L'écliptique coupe l'équateur céleste en deux points diamétrale­ment opposés notés γ et γ'. L'instant où le soleil passe par γ corres­pond à l'équinoxe de printemps. Le point γ est appelé point vernal. Le passage du so­leil au point γ' correspond à l'équinoxe d'au­tomne.

Remarque 1 : la position du point vernal étant connu, la position sur la sphère céleste d'un astre quel­conque M peut se repérer par deux mesures d'angles appelées coordonnées équatoriales de M : l'angle α appelée ascension droite et l'angle δ appelé déclinaison. (voir schéma n° 6)

Remarque 2 : la direction de l'axe des pôles n'est en réa­lité pas tout à fait fixe dans le repère géocen­trique. Par effet gyroscopique, un peu comme l'axe d'une toupie en rotation, l'axe des pôles (OP) tourne autour de la per­pendiculaire (ON) à l'écliptique en gardant avec elle l'angle ε fixe. Ce mouvement est une précession. Sur la sphère céleste, le point P tourne autour du point N à vitesse constante, dans le sens rétrograde ( sens inverse au sens de déplacement du soleil sur l'écliptique ) effectuant un tour en un peu moins de 26000 ans. Ce mouvement est donc très lent mais il a néanmoins des conséquences pratiques, on parle de précession des équinoxes. Le plan de l'équateur restant constamment perpen­diculaire à (OP), son orientation par rapport à l'écliptique se modi­fie, entraînant un lent mouvement de rotation du point vernal dans le sens rétrograde : 50'' par an environ (voir schéma n° 7 ).

schéma n° 7                         Remarque 3 : la théorie de l'effet gyroscopique est étudiée en 2ième ou 3ième année d'études scientifiques après le baccalauréat. Nous ne l'abordons pas ici. Une étude théorique et une animation sont proposées à l'adresse suivante :

http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/gyroscope/theorie_gyroscope.htm

Remarque 4 : en réalité, l'obliquité ε n'est pas tout à fait fixe. Cette valeur oscille autour de la valeur moyenne ( 23°26') avec une amplitude extrêmement faible (17,2'') et une période de 18,6 ans. Ce phéno­mène appelé nutation est négligé tant dans cette étude que lors de la construction de planétaire.

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Partie III : jour sidéral et jour solaire.


schéma n° 8

Pour construire un calendrier, c'est-à-dire attribuer une date à chaque instant, il faut deux choses :

* définir une unité de temps par référence à un phéno­mène périodique ;

* choisir un instant particulier auquel on attribue ar­bitrairement une date.

Comme le montre la diversité des système de calen­driers à travers le monde, de nombreux choix sont pos­sibles. Nous nous limitons au système utilisé en France.

Pour des raisons historiques et pratiques, le phénomène retenu est le mouvement du soleil par rapport à la terre.

Pour repérer la position locale du soleil, il faut commencer par définir un système de coordonnées locales adapté : le système de coordonnées horizontales. Soit un point d'observation (noté Ob) à la surface de la terre. La verticale du lieu rencontre la sphère céleste en un point nommé zénith. Le plan horizontal passant par le point Ob est le plan de l'horizon céleste. Vue du point Ob, la position du centre du soleil peut être défi­nie par deux angles :

* la hauteur h sur l'horizon : angle entre le plan de l'horizon et la droite passant par Ob et le centre du soleil ; ainsi h=90° correspond au soleil au zénith,

h = 0° correspond au soleil à l'horizon ;


* l'azimut A est l'angle entre le plan vertical contenant le centre du soleil et le point Ob et la direction du nord géographique. Ainsi l'est géo­graphique correspond à A = 90°, le sud géogra­phique à A = 180°… (voir schéma n° 8).

Remarque : il existe une relation simple entre la hauteur h sur l'horizon et la déclinaison δ définie schéma n° 6. Faisons un nouveau schéma (schéma n° 9) avec pour plan de figure le plan méridien contenant l'axe des pôles et le centre M d'un astre observé. On fait apparaître la latitude L : angle entre la droite (O m) et la droite (O Ob). On trace la parallèle à la droite (O m) passant par l'observateur Ob (notée (Ob X). On retrouve la latitude comme angle entre cette droite et la verticale locale. L'angle L' visualisé sur le schéma représente la diffé­rence (h - δ). L'angle entre l'horizontale et la verticale vaut 90° mais aussi la somme (L + L' ). Cela permet d'écrire les relations :

L + h - δ = 90° ou : δ = L + h – 90


schéma n° 9

III.1. Définition du jour solaire.

Par convention, il est midi solaire en un point de la terre lorsque le soleil y culmine, c'est à dire est le plus haut sur l'horizon le jour considéré. Le soleil indique alors le sud géographique, son azimut vaut 180°. Il est donc midi solaire au même instant pour tous les points d'un même méridien. La date dépend donc de la longitude du lieu, d'où la nécessité de choisir un méridien de référence : par convention celui passant par l'observatoire de Greenwich près de Londres. Par convention, un jour solaire repré­sente la durée entre deux culminations successives du soleil en un même lieu à la surface de la terre.


III.2. Jour solaire vrai et jour solaire moyen.

On dit fréquemment en France que le temps légal a une heure d'avance sur le soleil (sauf l'été où cette avance est de 2h), autrement dit, qu'il est midi solaire à 13h légale (ou 14h l'été) . Est-ce rigoureuse­ment exact ? Pour répondre à la question, un obser­vateur placé sur le méridien de Greenwich peut pho­tographier le soleil à « midi solaire » un grand nombre de jours de l'année et superposer les photos.

Remarque : midi solaire à Greenwich correspond à 12h l'hi­ver et à 13h l'été car les Anglais , sauf l'été, « marchent à l'heure solaire anglaise » et les Français à l'heure solaire alle­mande...) De nombreux sites internet publie le résul­tat ; par exemple : http://www.astrosurf.com/luxorion/analemme.htm.

Quelques commentaires  sur cette photographie :

* La hauteur du soleil sur l'horizon varie fortement suivant la saison ; cela s'explique par l'inclinaison de l'axe des pôles par rapport au plan de l'éclip­tique. La hauteur est maximale au solstice d'été (aux environs du 21 juin) et minimale au solstice d'hiver (aux environs du 21 décembre).

* Sur la photo, la direction sud est matérialisée par l'antenne de télévision. Si le jour so­laire avait une durée fixe de 24h, le soleil serait tou­jours au sud à 12h pour un observa­teur si­tué sur le méridien de Greenwich. Sur la photo toutes les images du soleil seraient alignées sur une verticale. La durée du jour solaire varie donc en fonction de la sai­son. Cependant, des mesures sur de longues pé­riodes (plusieurs dizaines d'an­nées) ont montré que la va­leur moyenne de cette du­rée est stable. Cela permet de défi­nir les unités de durée :
Par convention, la durée moyenne du jour solaire vaut 24h soit 24x60=1440min soit 1440x60=86400s.
















                    schéma n° 10


Précision : la courbe du schéma n° 10 repré­sente les différences entre les durées de cha­cun des 365 jours so­laires de l'année 2015 et 24h. Les écarts restent toujours faibles : un rallongement maxi­mum d'envi­ron 30s au dé­but de l'hiver et un raccourcis­sement maximum d'envi­ron 22s au dé­but de l'automne. Ce­pendant les écarts se cu­mulent au fil des jours et l'écart entre 12h (heure d'hiver à Green­wich) et midi solaire vrai (toujours à Greenwich) peut prendre des valeurs nettement plus importantes. Ainsi le soleil est en avance d'environ 16,5min sur le temps moyen dé­but no­vembre (posi­tion à droite de l’antenne sur la photo) et en retard d'environ 14min vers le 11 février (po­sition à gauche de l'antenne sur la photo). La photo n’étant pas très précise, nous reproduisons ci-dessous l'ensemble des positions successives du centre du soleil sur la sphère céleste, vue d'un observateur situé à Greenwich à midi solaire moyen soit 12h (ou 13h l'été), au cours de l'année 2015. L'ensemble des positions successives forme une courbe appelée analemme. La courbe du schéma n° 11 représente l'analemme telle qu'elle peut être déterminée expérimentalement : mesures des azimuts (en degrés) por­tées sur l'axe horizontal, mesures des hauteurs (en degrés) portées sur l'axe vertical. La courbe de droite correspond aux mêmes mesures mais les grandeurs por­tées sur les axes dont modifiées :

* Pour rendre l'analemme indépendant de la latitude, on porte sur l'axe vertical les décli­naisons en utilisant la formule déjà démontrée : δ = L + h – 90 .


Sachant que la latitude de l'observatoire de Greenwich est : L = 51,477°, on obtient : δ =h – 38,523°.











schéma n° 12




schéma n° 11

* On sait que la terre tourne d'un tour, soit 360°, par rapport au soleil en environ 24h soit 1440min (à une demie minute près suivant les jours…) ; elle tourne donc par rapport au soleil d'un degré toutes les 4min. En multipliant par 4min les différences entre les azi­muts mesurés en degrés et 180° , nous obtenons les écarts entre l'heure solaire vraie et l'heure solaire moyenne. Ainsi, un azimut de 179° à 12h (heure d'hiver), signifie que midi solaire correspond à 12h4min plutôt qu'à midi solaire moyen (12h) ; un azimut de 182° à 12h correspond à midi solaire obtenu à 11h52min…
Remarque 1 : cette différence entre l'heure solaire vraie et l'heure solaire moyenne est appelée « équation du temps » ; elle peut être déduite du schéma n°12. Elle est l'objet de l'annexe n° 3. On pourra aussi consulter le site : http://freveille.free.fr/Equation_du_temps.html

Remarque 2 : par la suite, le mot « jour », sans autre précision, désignera toujours le jour solaire moyen soit 24h.


III.3. Jour solaire moyen et jour stellaire.

Les variations de durée du jour solaire ont deux causes qui seront détaillées en an­nexe n° 3 :

* une première cause connue depuis l'antiquité : l'angle non nul entre le plan de l'équa­teur et le plan de l'écliptique ;

* une seconde connue depuis les observations de Képler : la trajectoire elliptique plutôt que circulaire du soleil dans le repère géocentrique. L'existence d'une excentricité non nulle implique de faibles variations de vitesse angulaire du soleil dans son mouvement sur l'écliptique.

Si ces deux causes n'existaient pas, le jour solaire vrai aurait une durée fixe au cours de l'année égale à sa valeur moyenne : 24h. Pour étudier la relation entre jour stellaire et jour solaire moyen, nous allons donc nous placer dans la situation fictive simple suivante en raisonnant dans le repère géocentrique : l'écliptique et l'équateur solaire sont deux cercles confondus (obliquité nulle). Sur ce cercle, le centre du soleil fictif (noté Sf) tourne à vitesse constante à raison d'un tour par année sidérale (Ast = 365,256363004 jours). Nous avons montré que l'heure dépend de la longitude mais pas de la latitude. Nous al­lons donc nous intéresser à l'heure en un point de la surface de la terre situé sur l'équa­teur (noté M). Dans le repère géocentrique, ce point tourne à la vitesse d'un tour par jour stellaire. Montrons simplement qu'un jour stellaire correspond à un peu moins de 24h.



schéma n° 13

Sur le schéma n° 13, le plan de figure est le plan de l'équateur. O désigne le centre de la terre, M1 désigne le proje­té de M sur l'équateur céleste. La figure de gauche représente la situation à midi solaire, un jour J quelconque : M1 et Sf sont deux points confondus. La figure centrale représente la situation un jour stellaire plus tard. M1 a effectué exactement un tour et occupe exacte­ment la même position que sur la figure de gauche. Est-il midi solaire pour autant ? Non ! En effet, pendant que M1 tournait, le point Sf tournait aussi d'un petit angle (noté α) que nous pouvons calculer. Sachant que Sf tourne de un tour (360°) en une année sidérale soit 24x365,256363=8766,152712heures, en un jour stellaire soit 23,934472heures, il tourne de :

.

Au bout d'un jour sidéral, le point M1 n'a pas tout à fait rattrapé le soleil fictif Sf. Pour obtenir midi solaire au jour (J+1), le point M1 doit tourner d'un angle supplémentaire noté , angle un peu supérieur à  puisque le soleil continue à tourner pendant que M1 tourne de l'angle . Conclusion : le jour solaire moyen (24h) est donc un peu plus long que le jour stellaire. La durée d'un jour stellaire est donc un peu infé­rieure à 24h.

Remarque  1: il existe une relation entre As, la durée de l'année sidérale, Jst la durée d'un jour stellaire et Jm la durée du jour solaire moyen.

Dans le repère géocentrique, si As est mesurée en heures, la vitesse angulaire de Sf, mesurée en tour par heure est :

Dans ce même repère, la vitesse angulaire de M1, mesurée en tour par heure est :

La vitesse angulaire de M1 par rapport à Sf , fixée arbitrairement à 1/Jm tour par heure est aussi :

On obtient donc par identification :

Soit encore :

or : As = d.Jm  avec d : nombre de jours de 24h par année sidérale (d = 365,256363004) ; donc :

On retrouve bien la valeur mesurée admise actuellement : 23h56min4,1s. Le jour stellaire est donc plus court que le jour solaire moyen d'environ 4min .


Remarque 2 : pour ceux que la notion de vitesse angulaire relative rebute, il existe une méthode plus simple, quoique un peu moins précise d'obtenir la valeur de Js. Reprenons le raisonnement accompa­gnant le schéma n° 13. L'angle  est très faible et le soleil fictif Sf tourne beaucoup plus lentement que le point M1 (365 fois moins vite environ). Pendant que M1 tourne de l'angle  , Sf tourne d'un angle tout à fait négligeable (moins de 1/365 degré). On peut donc considérer les angles  et  comme pratiquement égaux. On peut ainsi considérer la différence (Jm – Jst) comme la durée que met M1 à tourner de l'angle . M1 tournant de 360° en un jour stel­laire, on obtient :

soit :

d'où :

Cette valeur correspond à Jst=23h56min4,7s. La méthode approchée introduit une erreur de seulement 6 dixièmes de seconde. En pratique, si on ne désire pas une précision meilleure que la seconde par jour, on pourra utiliser cette méthode approchée.

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Partie IV : influence de la précession des équinoxes.

IV.1 Année sidérale et année tropique

Pourrait-on définir l'année civile à partir de l'année sidérale ? Puisque l'année ci­vile doit nécessairement correspondre à un nombre entier de jours de 24h, il faudrait pour cela, introduire judicieusement des années bissextiles de façon que la valeur moyenne de l'année civile soit la plus proche possible de l'année sidérale. Dans ce cas, le soleil retrou­verait tous les ans à dates fixes exactement à même position par rapport aux étoiles ; cela conviendrait aux astrologues mais présenterait un grave inconvénient pratique.