Annexe n° 1 : Trajectoires elliptiques


Des différentes définitions de l'ellipse, nous allons donner la plus simple, celle par­fois utilisée par les jardiniers pour tracer le pourtour d'un parterre ellip­tique. Vous pouvez d'ailleurs faire la manipulation vous-même : il suffit de disposer d'une feuille de papier fixée sur une planche en bois, de deux épingles ou punaises, d'un peu de fil à coudre et d'un crayon de faible diamètre.

Nous donnerons ensuite une autre méthode de construction de l'ellipse, un peu moins simple mais plus utilisée en astronomie.

schéma n° 1

Dans un premier temps, attachez les deux extrémités de votre fil à une épingle que vous plantez, matérialisant ainsi un point fixe noté O. Placez votre crayon dans la boucle que forme le fil et tournez autour du point O en mainte­nant le fil constamment tendu. Vous obtenez ainsi un cercle de centre O et de rayon de valeur a (figure de gauche).

Maintenant, enlevez l'épingle du point O et placez deux épingles de part et d'autre du point O, à la même distance c du point O en choisissant c strictement inférieur à a. En conservant au fil la même longueur que précédemment, attachez une extrémité à la pre­mière épingle et l'autre extrémité à la seconde épingle. Comme précédemment, placez votre crayon dans la boucle que forme le fil et tournez autour du point O en maintenant le fil constamment tendu. Vous obtenez une ellipse (figure de droite). Les points fixes maté­rialisés par les épingles (F1 et F2 sur la figures) sont les foyers de l'ellipse. Soit d1 la dis­tance de la pointe M du crayon à F1 et d2 la distance de M à F2. Nous avons évidemment, quelle que soit la position de M sur l'ellipse : d1 + d2 = 2.a .

D'où une définition précise d'une ellipse : soient deux points fixes de l'espace appelés foyers et un plan fixe contenant ces deux points ; l'ellipse est l'en­semble des points de ce plan dont la somme des distances aux deux foyers est une constante.

La distance de F1 à F2 (égale à 2c) est nécessairement inférieure à la lon­gueur du fil (égale à 2a). Il faut donc choisir c strictement inférieur à a.

Le rapport c/a est appelé excentricité de l'ellipse, souvent notée e.

Cela revient à écrire : c = ae. L'excentricité est donc toujours strictement infé­rieure à 1. Le cas particulier : c = 0 revient à imaginer les foyers confondus avec le point O : on re­trouve le cas particulier du cercle de rayon a. Ainsi, plus l'excen­tricité est proche de zéro, plus l'ellipse « ressemble » à un cercle, plus l'excentrici­té augmente, plus l'ellipse « s'apla­tit ». À titre d'exemple revenons aux mouve­ments des centres des planètes décrits dans le référentiel héliocentrique. L'excen­tricité de l'orbite terrestre est e = 0,0167 ; cette valeur est très faible ; l'orbite est « presque » circulaire comme le montre le schéma 3 du docu­ment principal. L'ex­centricité de l'orbite de mars est 5,6 fois plus élevée, bien qu’encore assez faible : e = 0,0933 ; on voit tout de même sur la figure 3 que la distance soleil – mars varie…

Encore quelques définitions :

* La droite passant par les points A et B de l'ellipse constitue le grand axe de l'el­lipse. La distance de A à B vaut 2a ; a est la longueur du demi-grand axe de l'ellipse.

* La droite passant par les points D et O constitue le petit axe de l'ellipse. La dis­tance de O à D est la longueur du demi-petit axe de l'ellipse. Dans le cas particulier où M est en D, nous avons : d1 = d2 = a. Le théorème de Pythagore ap­pliqué au triangle (ODF1) conduit à : a2 = c2 + b2 soit :

.


Autre méthode de construction d'une ellipse.


schéma n° 2

Considérons un point quel­conque Mc du cercle de rayon a et de centre O. Soit E l'angle po­laire entre l'axe (OX) et le vecteur . Les co­ordonnées carté­siennes du point Mc sont donc:

XMc = a.cos(E) ; YMc = a.sin(E). Pour obtenir l'ellipse d'excentri­cité e et de demi grand a, on fait correspondre à tout point Mc du cercle un point M de l’ellipse ayant même abs­cisse que Mc mais une ordonnée multipliée par le rapport b/a (rap­port égal à comme démontré au dessus). Les coor­données carté­siennes du point M sont ainsi :

X = a.cos(E) ; Y = b.sin(E).

Remarque : sachant que, quelle que soit la valeur de E, nous avons :

nous obtenons l'équation cartésienne de l'ellipse :



Vérifions que cette méthode est bien cohérente avec la définition de l'ellipse donnée ini­tialement. Sachant que les foyers sont à la distance c = ea du centre O, le théorème de Py­thagore appliqué aux triangles rectangles (F1HM) et (F2HM) conduit à :

et


Ce qui donne pour la première égalité :


.


Soit en tenant compte de la relation :  :


.

On reconnaît une identité remarquable :


 ; d'où : .


Le calcul pour d2 se mène de la même façon : il suffit de remplacer e par son opposé. Au final nous obtenons :

et .

Cela donne bien, quelle que soit la valeur de E, donc quelle que soit la position du point M sur l'ellipse :

.

Nous retrouvons la définition de l'ellipse donnée primitivement !


Remarque : il peut être intéressant de repérer le point M de l’ellipse par ses coordon­nées polaires (r,) où r désigne la distance entre le foyer où se trouve l'astre attracteur (F1 par exemple) et le point M et où  désigne l'angle entre le grand axe de l'ellipse et la droite (F1M). On obtient évidemment r = d1 :

.

Pour l'angle  les définitions de trigonométrie appliquées au triangle (F1HM) conduisent à :

 ; .

.

En pratique, on déduit la valeur de  du calcul de tan() et du signe de sin() identique au signe de sin(E).

Équation polaire de l'ellipse.

Nous avons déjà établi l'équation cartésienne, c'est à dire la relation entre les coor­données cartésiennes X et Y d'un point M quelconque de l'ellipse. L'équation polaire donne la relation entre les coordonnées r et  d'un point M quelconque de l'ellipse. L'ex­pression précédente de cos() conduit à :

.

Par substitution dans l'expression de r déjà obtenue : , on obtient :

 ;

Soit :

.

On pose souvent :  ; p est appelé : « paramètre de l'ellipse.

D'où l'expression classique de l'équation polaire :

.


Aire de la surface délimitée par une ellipse.

Imaginons le disque de rayon a, d'aire que l'on cherche à tapisser de carrés identiques. La surface ainsi recouverte est plus petite bien sûr que le disque (voir schéma n° 3). Imaginons maintenant que l'on choisisse des carrés dont la longueur de chaque côté est extrêmement petite devant le rayon a du disque : la surface « perdue » (colorée en bleu sur le schéma) devient négligeable : l'aire du disque est égale à la somme des aires des pe­tits carrés : où N est le nombre de carrés et l la longueur d'un côté de car­reau.

        


schéma n° 3

Supposons maintenant que l'on transforme chaque petit carré de la façon suivante : sa longueur l est conservée mais sa hauteur est multipliée par le rapport b/a définie précédemment pour l'ellipse. Conserver les dimensions horizon­tales en multipliant les dimensions verticales par le rapport b/a est la méthode utilisée pour transformer le cercle de rayon a en ellipse : Nos N rectangles ta­pissent maintenant l'ellipse ! L'aire de ces N rec­tangles est :  ; cette aire est celle de la surface délimitée par l'ellipse.

Conclusion : l'aire de la surface délimitée par une ellipse est :


.


Loi des aires.

Attention ! par la suite, la mesure des angles sera exprimée en radians.

Soit un point M se déplaçant sur une ellipses, ses coordonnées polaires étant r et .

Soit t = 0 la date de passage de M au périgée ; soit s l'aire de la surface balayée par le seg­ment (FM) entre les dates zéro et t (date quelconque) . Supposons que le mouvement de M vérifie la loi des aires : cela signifie que l'aire de la surface balayée augmente proportion­nellement à la date t.

De plus, dans le cas particulier t = T : période du mouvement, l'aire de la sur­face balayée vaut S = .a.b . L'aire de la surface balayée entre les date zéro et t peut donc s'écrire : . On appelle vitesse aérolaire de M le nombre dérivé de s par rap­port à t :

 ; soit ici : .

Remarque : lorsque VA ne varie pas au cours du temps, ce qui est le cas ici, la vitesse aérolaire repré­sente l'aire de la surface balayée par le segment (FM) chaque seconde.

La loi des aires peut s'énoncer simplement en disant que, lorsqu'elle est véri­fiée, la vitesse aérolaire du point M décrivant l'ellipse ne varie pas au cours du temps.

Exprimons mainte­nant la vitesse aéro­laire en fonction des co­ordonnées polaires de M et de leurs dérivées par rapport au temps. Soit le vecteur position de M à la date quelconque t, étant un vecteur unitaire. Entre les date t et (t + dt), le point M subit un déplacement élémen­taire : désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à dans le plan de l'ellipse (voir figure ci-contre). L'aire de la surface balayée par le segment (FM) est celle du triangle hachuré sur la figure. Cette valeur est la demi norme du produit vectoriel désigne un vecteur perpendi­culaire au plan de l'ellipse. La nouvelle expression générale de la vi­tesse aérolaire est ainsi :

représente le nombre dérivée de l'angle polaire par rapport au temps, c'est à dire la vitesse angulaire du point M.

Conclusion : lorsqu'un point M en mouvement elliptique vérifie la loi des aires, le pro­duit de r2 par la vitesse angulaire est une constante, souvent notée C et appelée constante des aires :

 ; avec : .




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