Annexe n° 3 : variations saisonnières de la durée du jour solaire ; équation du temps.





Table des matières

Annexe n° 3 : variations saisonnières de la durée du jour solaire ; équation du temps. 1

I : Les deux causes de la variation de durée du jour solaire. 2

I.1. Les variations saisonnières de la vitesse du soleil. 2

I.2. Influence de l'excentricité de la trajectoire du soleil sur la durée du jour solaire. 3

I.3. Influence de l'obliquité sur la durée du jour solaire. 4

II : Équation du temps. 5

II.1. Définition de l'équation du temps. 6

II.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps. 7

II.2.1 Anomalie moyenne, anomalie excentrique, anomalie vraie, équation de Képler. 7

II.2.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps : équation du centre. 9

II.2.3 Exemple de détermination de l'équation du centre. 9

II.3 Influence de l'obliquité sur l'équation du temps. 10

II.3.1 Les coordonnées géocentriques écliptiques du soleil. 10

II.3.2 Les coordonnées géocentriques équatoriales du soleil. 11

II.3.3. Calcul de l'équation du temps. 12

II.4. Influence de la longitude sur l'heure solaire vraie. 14











I : Les deux causes de la variation de durée du jour solaire.

Nous avons vu Partie II §2 que la durée du jour solaire fluctue autour de sa valeur moyenne (24h) en fonction de la saison. Il s'agit ici d'analyser les deux causes de cette variation.


I.1. Les variations saisonnières de la vitesse du soleil.

Je reproduis ci-contre la trajec­toire du centre du soleil dans le réfé­rentiel géocentrique : il s'agit d'une el­lipse dont le centre de la terre est un foyer (noté F) ; la période (durée d'un tour), notée T est égale à une année sidérale. Pour la clarté de la figure, l'excentricité est fortement augmen­tée par rapport à la réalité. On note S1, S2,…, S20 vingt positions succes­sives du centre du soleil occupées aux dates respectives : t1, t2 = t1+T/20 , t3 = t2+T/20, t4 = t3 + T/20… La date  t1 correspond à un passage au périhé­lie. La durée entre deux positions suc­cessives est toujours la même : un vingtième de période. En traçant les segments (O S1), (O S2),...(0 S20), on divise la surface délimitée par l'ellipse en vingt sec­teurs. La loi des aires, énoncée par Képler, stipule que, dans la me­sure où les du­rées des parcours successifs (S1S2), (S2S3)...(S19S20) sont égales, les aires des différents secteurs sont égales. Ainsi, l'aire du secteur délimitée en rouge est égale à l'aire du secteur délimitée en vert.

Conséquence de cette loi : Les distances (FS1) et (FS20) étant nettement inférieures aux distances (FS9) et (FS10) l'égalité des aires des deux secteurs « vert » et « rouge » n'est possible que parce que la distance parcourue par le centre du soleil de S9 à S10 est infé­rieure à celle parcourue de S20 à S1. Les durées de ces deux parcours étant égales, la vi­tesse entre S9 et S10 est nécessairement inférieure à celle entre S20 et S1.

Ainsi, la vitesse du centre du soleil varie : elle est maximale au passage au périhélie (le 4 janvier : 1,019 degré par jour) et minimale au passage à l'aphélie (le 4 juillet : 0,953 degré par jour) pour une valeur moyenne de 0,986 degré par jour.


I.2. Influence de l'excentricité de la trajectoire du soleil sur la durée du jour solaire.

On peut reprendre le raisonnement fait (Partie II.3, remarque 2) en l'adaptant à la différence entre le jour solaire (durée Js) et le jour sidéral (durée Jst). En très bonne approximation, on peut considérer la différence (Js – Jst) comme la durée nécessaire au projeté M1 du méridien de référence sur la sphère céleste à tourner de l'angle , cet angle étant celui dont tourne le soleil en un jour sidéral.

Soit S La vitesse angulaire du soleil le jour considéré (les variations de S étant très lentes, on peut considérer cette grandeur comme pratiquement constante sur un jour) :

avec S en tour par heure et Jst en heures.

Soit M1 la vitesse de M1 en tour par heure. On obtient :

soit :.

L'écart par rapport au jour solaire moyen (Jm = 24h) vaut finalement :

.



Les éphémé­rides per­mettent le cal­cul de S . Les autres gran­deurs de la for­mule ont déjà été évo­quées. La courbe ci-des­sous représente les variations au cours de l'an­née 2015 de l'écart (Js-Jm) exprimé en se­condes. L'écart est maxi­mum lorsque le soleil a sa vitesse maximale, c'est à dire le 4 janvier ; cet écart est minimum lorsque le so­leil a sa vitesse mi­nimale, c'est à dire le 4 juillet. Cet écart varie périodiquement : on re­trouve le même écart lorsque le soleil retrouve une même position sur sa trajectoire. La période est donc égale à une année sidérale.


I.3. Influence de l'obliquité sur la durée du jour solaire.

La courbe précédente montre que l'écart (Js-Jm) dû à la seule variation de vitesse du soleil ne dépasse pas huit secondes. Or les mesures montrent que cet écart peut at­teindre 30s. Il existe donc une autre cause aux variations de durée du jour solaire !

Remarque : le raisonnement que nous allons faire présente quelques similitudes avec celui sur l'in­fluence de la précession des équinoxes sur le jour sidéral (Partie IV §3).

La figure de gauche correspond au centre du soleil (en jaune) passant par le point vernal : nous sommes à l'équinoxe de printemps. Dans son mouvement sur l'écliptique, la vitesse du soleil (représentée par la flèche rouge) a deux composantes : une composante d'ouest en est (représentée par la flèche bleue) et une composante orientée vers le nord (représentée par la flèche verte). L'existence de la composante vers le nord a une conséquence familière : à cette période de l'année, le soleil est de plus en plus haut sur l'horizon à heure fixe. Pour la détermination de l'heure et donc pour la durée du jour solaire, seule compte la composante d'est en ouest et celle-ci est au début printemps égale à seulement 91,75 % à la vitesse réelle du soleil.

La figure de droite correspond au solstice d'été (la partie « arrière » de l'écliptique n'est pas représentée). Dans ce cas particulier, la vitesse du soleil n'a pas de composante vers le nord ou le sud : la composante est-ouest de la vitesse du soleil représente 100 % de la vitesse réelle.

Entre le solstice d'été et le solstice d'hiver, le raisonnement est analogue, la flèche verte étant orientée vers le sud : à cette période de l'année, le soleil est de plus en plus bas sur l'horizon à heure fixe.

Conséquence, dans le calcul de l'écart (Js – Jm), il faut multiplier la vitesse du soleil par un terme correctif R :

.


R varie en fonction de la saison selon le tableau de variations ci-dessous :


Dates

Solstice

d'hiver

année A


Équinoxe de printemps


Solstice

d'été


Équinoxe

d'automne


Solstice d'hiver

année A+1

variations

1




1




1

de






R



0,9275




0,9275



Ainsi R varie périodiquement avec une période d'une demie année tropique. Puisque (Js – Jm) augmente avec R, la contribution de l'obliquité à l'écart (Js – Jm) varie suivant un tableau de variation analogue. Cette contribution correspond à la courbe verte.

L'écart to­tal correspond à la courbe bleue. Cet écart est maximum vers le 22 décembre : cette date correspond à un maximum de R et à une valeur élevée de S car le soleil est proche du périhélie (atteint le 4 janvier).

Remarque : l'écart total (Jm-Js) ne varie pas de façon rigoureusement périodique dans la mesure où il fait intervenir des phénomènes de périodes différentes : année sidérale d'une part, demie année tropique d'autre part. De plus ces périodes ne sont pas égales à la durée moyenne de l'année civile. Ainsi, les maximums et minimums ne seront pas obtenus les mêmes jours du calendrier selon l'année étudiée. Ce­pendant, année tropique, année sidérale et année civile moyenne ont des durées très proches : les modifi­cations des courbes ci-dessus, d'une année à l'autre sont très faibles…



II : Équation du temps.

Nous savons que l'heure solaire dépend de la latitude. Nous allons donc d'abord faire notre étude en plaçant l’observateur terrestre le long du méridien de Greenwich. Nous verrons ensuite les corrections à apporter pour des latitudes différentes.


II.1. Définition de l'équation du temps.

Remarque préliminaire : le mot « équation » n'a pas ici son acception usuelle mais plutôt celle plus an­cienne de « terme correctif » à apporter à une grandeur.

Avant la généralisation des montres, alors que les cadrans solaires étaient nom­breux, l'équation du temps (notée Et) a été définie comme la durée qu'il faut ajouter à l'heure lue sur un cadran solaire (heure solaire vraie : Hsv) pour avoir l'heure solaire moyenne Hsm (en Angleterre : heure solaire moyenne = heure légale ou heure légale moins une heure l'été) :

Hsm = Hsv + Et soit Et = Hsm – Hsv.

D'ailleurs, la courbe annuelle d'équation du temps était souvent exposée (souvent sous forme d'analemme) à côté du cadran.

Remarque : bien que la majorité du territoire français métropolitain appartienne au fuseau horaire centré sur Greenwich, nous avons : heure légale = heure solaire moyenne de Greenwich plus une heure l'hiver et plus deux heures l'été : nous sommes restés à l'heure solaire allemande l'hiver...

L’équation du temps est une grandeur algébrique. Supposons Et > 0 : à Hsm = 12h, le cadran solaire indique une heure Hsv inférieure ; il n'est pas encore midi solaire vrai ; le soleil réel est en retard sur le soleil fictif moyen. Inversement, une valeur néga­tive de Et correspond à un soleil en avance sur le soleil moyen.

Cette définition est toujours celle adoptée en France (les anglo-saxons adoptent la convention de signe opposé).

Dans ces conditions, l'équation du temps appa­raît comme le cumul des écarts (Js-Jm) au fil du temps. Bien sûr, cet écart cumulé ne croît pas infini­ment puisque la valeur moyenne de (Js – Jm) est nulle, par définition même de la valeur moyenne.

L'équation du temps ainsi que les coordonnées des planètes du système so­laires peuvent être obtenus à l'adresse suivante : http://pgj.pagesperso-orange.fr/position-planetes.htm . De nombreux logiciels téléchargeables gratuitement permettent le calcul de Et et trace la courbe représentant les variations de Et au cours d'une année. Voici par exemple ci-des­sus le résultat obtenu avec le logiciel SHADOWS pour l'année 2015.


II.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps.

Pour cette étude, nous étudions la seule influence de l'excentricité : nous supposons donc l'obli­quité nulle : les plans de l'équateur et de l'écliptique sont considérés comme confondus. Le repère a pour origine O le centre de l'ellipse décrite par le centre du so­leil, l'axe (OX) est orienté du centre de l'ellipse vers l'aphélie. Dans un premier temps, nous allons construire cette ellipse.




II.2.1 Anomalie moyenne, anomalie excentrique, anomalie vraie, équation de Képler.


Attention : dorénavant, en absence de précisions, les mesures d'angles seront expri­mées en radians plutôt qu'en degrés.

La méthode a déjà été expliquée en fin d'annexe 1 ; on trace (en pointillés rouges) un cercle de rayon a, de centre O (centre de l'ellipse) et à tout point Mc de ce cercle, carac­térisé par l'angle polaire E, on fait correspondre un point S de l'ellipse de même abs­cisse mais d'ordonnée multipliée par b/a. L'angle polaire E est appelé anomalie ex­centrique. Le foyer F de l'ellipse correspond au centre de la terre, il est à la distance c = e.a du centre O (pour améliorer la clarté de la figure on choisit une valeur de e beau­coup plus grande que la valeur réelle).

On trace également (en pointillés bleus) la trajectoire du centre Sf du soleil fictif défini page 13 du document principal. Sf tourne à vitesse angulaire constante sur un cercle de centre F et de rayon a. Il effectue un tour en une durée T égale à la durée d'un tour du so­leil réel sur son orbite elliptique. L'angle polaire entre (FX) et (FSf) est noté M et appelé anomalie moyenne. Prenons l'origine des dates à un instant où Sf coupe l'axe (OX). Si Sf tourne de 2. radians (360°) pendant la durée T, pendant la durée t il tourne de :

.


À ce stade, nous connaissons la trajectoire de S, nous savons positionner Sf à n'importe quel instant sur sa trajectoire circulaire, mais nous ne savons pas encore positionner S sur sa trajectoire elliptique à la date t. Pour ce faire, il faut connaître la valeur de l'angle polaire E à la date quelconque t. Nous allons appliquer la loi des aires : l'aire balayée par FS entre la date zéro et la date t doit être proportionnelle à t et la durée T doit corres­pondre à une aire balayée égale à celle délimitée par l'ellipse : .a.b . L'aire A balayée par (FS), entre les dates zéro et t (coloriée en bleu sur le schéma) doit donc vérifier la rela­tion :

.

Exprimons cette aire en fonction de l'anomalie excentrique E. Exprimons d'abord l'aire S1 du secteur circulaire de rayon a correspondant à l'arc . Lorsque le rayon OMC tourne d'un tour, soit 2. radians, il balaie l'aire totale du disque soit .a; lorsqu'il tourne de l'angle E (mesuré en radians), il balaie l'aire :

.

Exprimons maintenant l'aire S2 du triangle (OFMC). Cette aire est égale au demi produit de la hauteur Ymc du triangle par sa base : OF = c = a.e ;

.

L'aire S3 de la surface délimitée par l'arc et les segments (FP) et (FMC) est :

.

Appliquons à tout point du contour dont on vient de calculer l'aire S3 la transformation déjà utilisée : à tout point de ce contour, on fait correspondre un point de même abscisse mais d'ordonnée multipliée par le rapport b/a ; L'arc de cercle se transforme en la portion d'ellipse  ; le segment (FMC) se transforme en segment (FS) et le segment (FP) se conserve (multiplier l'ordonnée nulle de tout point de (FP) par b/a donne zéro). Le rai­sonnement déjà utilisé en fin d'annexe 1 pour déduire l'aire délimitée par l'ellipse de l'aire du disque permet d'affirmer :

.

Or :

et. Par substitution : .

Par identification, on obtient l'équation démontrée pour la première fois par Képler :


.


M étant connu à la date t, la résolution de l'équation de Képler donne la valeur de E à la date t, ce qui permet d'obtenir les coordonnées polaires de S par les formules démontrées en annexe n°1 :

 ;

avec sin() de même signe que sin(E).

L'angle polaire est appelé anomalie vraie du soleil.

Remarque : l'usage du mot « anomalie » pour désigner des angles peut surprendre : il dérive de l'adjec­tif « anomal » qui signifie : « présente des irrégularités ».


II.2.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps : équation du centre.

Le cercle de la figure représente l'écliptique de centre F : centre de la terre. Sf et S désignent respectivement les intersections avec la sphère céleste des droites passant par F et les centres du soleil fictif et du soleil véritable. M1 représente le projeté sur la sphère céleste de l'intersection du méridien de Greenwich avec l'équateur. Nous continuons à confondre écliptique et équateur céleste. Lorsque M1 rattrape S, il est midi solaire vrai : Hsv = 12h. Il n'est pas encore midi solaire moyen : Hsm < Hsv. La différence (Hsv – Hsm) représente l'équation du temps due à la seule influence de l'excentricité : on l'appelle tra­ditionnellement équation du centre : Etc.

Etc = Hsm – Hsv en supposant l'obliquité nulle.

On rappelle que M1 tourne environ 365 fois plus vite que S et Sf. Dans ces conditions, Etc représente le temps que met M1 pour se déplacer de S à Sf, soit tourner de l'angle (M - ). Nous avons déjà montré que M1 tourne par rapport au soleil de 1° toutes les quatre mi­nutes. Cela conduit à :

Etc = 4.( - M ) avec Etc en minutes et ( - M) en degrés.


II.2.3 Exemple de détermination de l'équation du centre.

Pour illustrer ces propos, nous allons déterminer l'équation du centre sur le méridien de Green­wich à une date choisie au hasard : le 1 août 2015 à 12h (heure solaire moyenne).

Le livre de Jean MEEUS évoqué en introduction fournit la valeur de l'anomalie moyenne à cette date : M = 206,576° = 3,6054rad.

L'excentricité de l'ellipse vaut : e = 0,0167. Il faut maintenant trouver la valeur de l'anomalie excentrique véri­fiant l'équation de Képler. Cela n'a rien d'évident car il n'existe pas de so­lution explicite à une telle équation. Le plus simple est d'utiliser un logi­ciel scientifique ou à défaut une calcu­latrice programmable. Par exemple : la commande « fsolve » du logiciel MAPLE ou du logiciel MATLAB donne immédiatement le résultat :

E = 3,598rad.

On en déduit : tan() = 0,4820 avec sin() < 0. D'où : = 205,736°.

Ainsi l'équation au centre à cette date vaut :

Etc = 4.(205,736 – 206,576) = - 3,362min.

Si la loi des aires était la seule cause des variations de durée du jour solaire, le soleil se­rait le 1 août 2015 en avance d'un peu plus de 3min sur le soleil moyen.

Cette séquence de calculs peut être refaite pour tous les jours de l'année, ce qui permet de tracer la courbe ci-contre où les abscisses sont les numéros des jours de l'an­née 2015 et les ordonnées les va­leurs de Etc mesurées en minutes. On constate que l’elliptici­té de la trajectoire provoque un décalage entre l'heure solaire vraie et l'heure solaire moyenne pouvant atteindre près de 8min.



II.3 Influence de l'obliquité sur l'équation du temps.


II.3.1 Les coordonnées géocentriques écliptiques du soleil.

On peut repérer le centre S du soleil et le centre Sf du soleil fictif par leurs coordonnées écliptiques. La position d'un astre quelconque M peut être repérée par la mesure de deux angles : la longitude écliptique L et la latitude écliptique notée . (voir figure ci-contre). Les latitudes de S et Sf sont évidemment nulles à chaque instants. L'origine des longitudes est le point vernal alors que l'origine des anomalies est le périhélie. Nous avons donc :

Latitude du centre S du soleil : L  ;

Latitude du centre Sf du soleil fictif : Lf ≠ M.

Cependant l'écart angulaire entre les droites (FS) et Fsf) est indépendant de l'origine choisie pour les angles. On peut donc poser à chaque instant :

L – Lf = - M ; ou : L = Lf + -M

La valeur de Lf est donnée par les tables astronomiques ; selon Jean MEEUS, le 1 août à 12h solaire moyen : Lf = 129,785°.

L'étude de l'équation au centre a conduit à :  = 205,736° ; M = 206,576°.

d'où :

L = 129,785 + 205,736 - 206,576 =128,944°.

Dans la base directe orthonormée (représentée en bleu), dans le cas particulier où le point M est sur l'écliptique, donc confondu avec m, on peut écrire  en choisissant le rayon de la sphère céleste arbitrairement égal à 1 :

.


II.3.2 Les coordonnées géocentriques équatoriales du soleil.

Nous l'avons déjà expliqué : l'heure solaire dépend de la position du projeté du centre S du soleil sur l'équateur, c'est à dire de l'ascension droite du soleil que nous avons déjà définie page 6, schéma n° 6 du docu­ment principal. Il s'agit donc de déter­miner l'ascension droite connaissant la longitude écliptique L.

Choisissons la base orthonormée directe représentée ci-contre en vert dirige (O ) et est orienté vers le pôle nord. Les coordonnées d'un point M quelconque de la sphère céleste sont les coordonnées sphériques de ce point ; on choisit la sphère céleste de rayon 1 :

.

On passe d'une base orthonormée à l'autre par une rotation autour de l'axe d'angle . On obtient ainsi : . D'où une nouvelle expression du vecteur position :

.


Par identification des deux expressions du vecteur position, on obtient trois égalités :

(1)

(2)

(3) .

La relation (3) permet de déterminer la déclinaison ; elle est sans intérêt pour notre étude de l'heure. Une « division membre à membre » de (2) par (1) conduit à :

.

En remarquant que le cosinus de la déclinaison est toujours strictement positif puisque la déclinaison est toujours inférieure à 90° et supérieure à (-90°), la relation (1) permet d'af­firmer que cos() est toujours du signe de cos(L).

Conclusion : il est possible de déterminer l'ascension droite en fonction de la longitude écliptique en calculant la tangente de cet angle puis en s'intéressant au signe de son cosinus :

avec cos() de même signe que cos(L).


Ainsi, le 1 août 2015 à 12h solaire, nous avons :

tan() = cos(23,437°).tan(128,944°) = -1,1353 avec cos(L) < 0.

D'où l'ascension droite du soleil :

=131,375°.


II.3.3. Calcul de l'équation du temps.