Annexe 5 : les forces de marées et la distance terre - lune.

Table des matières

Annexe 5 : les forces de marées. 1

I. Origine des forces de marées. 1

I.1. Calcul préliminaire du « jour lunaire moyen ». 2

I.2. Cause des marées ? Pas si simple ! 3

I.3. Cas d'un objet dans un champ uniforme. 4

I.4. Cas d'un objet dans un champ non uniforme. 4

II. Évaluation des forces de marée exercées par un astre sur un autre. 5

II.1. Évaluation des forces de marées exercées par la lune sur la terre. 5

II.2. Évaluation des forces de marées exercées par les autres astres. 7

III. Théorie statique des marées. 8

III.1. Force de marée créé par la lune sur la terre. 8

III.2. Expression du vecteur champ de marée créé par la lune sur terre. 9

III.3. Surface libre des océans en présence de la lune. 11

III.4. Surface libre des océans en présence de la lune et du soleil. 14

III.5. Influence des phases de la lune sur l'amplitude des marées. 15

III.6. Influence de la longitude et de la latitude terrestre sur la hauteur d'eau. 16

IV. Prévision actuelle des marées. 17

IV.1. Mérites et insuffisances de la théorie statique. 17

IV.2. Méthode actuelle de prévision des marées : méthode des harmo­niques. 19

V. Influence du phénomène des marées sur la distance terre – lune. 20

V.1. Moment cinétique du système terre – lune. 20

V.2. Influence des marées sur la distance terre – lune. 21

V.3. Évaluation de l'actuelle vitesse d'augmentation de la distance terre – lune. 22

V.4. Influence des marées sur l'énergie mécanique du système terre - lune. 23

V.5. Influence des marées sur l'énergie du système terre – lune et évolution du système à long terme. 23

V.6. Mouvements des centres de la terre et de la lune dans le référentiel barycentrique. 25



I. Origine des forces de marées.

Remarque préliminaire : nous utiliserons plusieurs fois l'expression « champ gravitationnel ». De quoi s'agit-il exactement ? De façon générale : un champ de force est une région de l'espace où une source de champ est capable d'exercer sur un objet une force à distance. Deux exemples : un ai­mant crée autour de lui un champ magnétique car, si on place un clou en fer dans cette région, l'ai­mant (la source du champ) exerce sur le clou une force attractive à distance, c'est à dire sans qu'il y ait contact entre le clou et l'aimant ; la lune et la terre, ainsi que les autres planètes, sont dans le champ de gravitation du soleil (ici la source de champ) car le soleil exerce sur ces astres des forces attractives dites forces gravitationnelles.


I.1. Calcul préliminaire du « jour lunaire moyen ».

Chacun sait que la fréquence des marées est imposée par le mouvement de la lune, le soleil ayant essentiellement une influence sur l'amplitude des ma­rées.

Par analogie avec le jour solaire, on peut définir le jour lunaire sur un mé­ridien donné de la surface terrestre comme la durée notée JL entre deux culmi­nations suc­cessives de la lune en un point de ce méridien. Cette durée, comme celle du jour so­laire, varie en fonction des saisons : la lune ne tourne pas tou­jours à la même vitesse autour de la terre (loi des aires ) et il faut tenir compte de l'obliquité de l'axe des pôles terrestres et de l'inclinaison de la trajectoire du centre de la lune par rapport à l'éclip­tique. Le calcul est analogue à celui de l'équation du temps développé en annexe 3 mais en plus complexe : le mouve­ment du centre de la lune est plus complexe que celui du centre du soleil.


Nous allons donc nous limiter à celui de la durée moyenne JLm du jour lunaire. Notons M l'intersection du méridien du lieu avec le plan de l'écliptique et M1 l'intersection de la sphère céleste avec la droite (OM), O étant le centre de la terre. Soit Lu, le point de l'écliptique dont la longitude écliptique est à chaque instant égale à la longitude éclip­tique du centre de la lune. Nous étudions les mouvement dans le repère géocentrique. À midi lunaire un jour J quelconque, les point M1 et Lu sont confondus. Un jour stel­laire plus tard, M1 retrouve la même position mais il n'est pas pour autant midi lu­naire : le point Lu a tourné d'un angle . Pour rattraper le point Lu, le point M1 doit tourner d'un angle supplémentaire . Le jour lunaire est donc un peu plus long que le jour stellaire.

Le calcul est classique et a été fait à plusieurs reprises : en un jour lunaire moyen de durée JLM , M tourne de un tour par rapport à Lu. Sa vitesse de rotation par rapport à Lu, exprimée en tour par heure est donc :

avec JLm en heures.

La vitesse de rotation de M1 par rapport au repère géocentrique est de un tour par jour stellaire :

avec JSt = 23,934472heures.

La vitesse de rotation de Lu par rapport au repère géocentrique est de un tour par mois sidéral Msi = 27,3217 jours = 655,7198782 heures, soit :

avec Msi exprimé en heures.

.

Soit, par identification :

 ; D'où : .

Application numérique :

.

La durée moyenne du jour lunaire est donc :

24 heures 50 minutes et 28 secondes.


I.2. Cause des marées ? Pas si simple !

On lit souvent dans les ouvrages de vulgarisation ou sur certains sites internet : « les marées sont le résultat des forces d'attraction exercées sur les océans par la lune et par le soleil ». Il est exact que les forces de gravitation exercées par la lune et le so­leil interviennent mais l'explication est très incomplète et en contradiction avec cer­tains faits observés.

Commençons par un simple raisonnement sur les ordres de grandeurs. Nous avons expliqué, paragraphe V. I, que l'attraction gravitationnelle exercée par un astre sur un objet quelconque (une goutte d'eau d'un océan, dans ce contexte) est proportion­nelle à la masse de l'astre attracteur et inversement proportionnelle au carré de la dis­tance entre cet objet et le centre de l'astre attracteur. Nous avons alors montré que l'attraction du soleil sur un objet terrestre est 178 fois plus importante que l'at­traction de la lune sur le même objet. Dans de telles conditions, l'influence de la lune sur les marées devrait être totalement négligeable devant celle du soleil ; or, en réalité, l'in­fluence de la lune est prépondérante ! Pre­mière incohérence !

La seconde incohérence concerne le rythme des marées. Restons dans l'hypo­thèse précédente : l'eau des océans, attirée par le soleil, se déplace du côté du soleil : par rapport à la hauteur moyenne que l'on obtiendrait en absence de marée, on ob­tient une marée haute au plus près du soleil et une marée basse à l'opposé.

Comme la terre tourne par rapport au soleil d'un tour par jour solaire, on obtient une marée haute et une marée basse par jour solaire. De plus, les heures des marées hautes et basses sont pratiquement fixes : marée haute peu après midi solaire, marée basse peu après minuit. Ce n'est pas du tout ce que l'on ob­tient : la durée moyenne entre deux marées haute et la durée moyenne entre deux marées basse sont exactement égales à un demi jour lunaire et les amplitudes des marées dé­pendent fortement du cycle de la lune ! Seconde incohérence ! Il nous faut donc une théorie des marées plus élaborée.

Pour comprendre, commençons par réfléchir à quelques expériences simples.

I.3. Cas d'un objet dans un champ uniforme.

Une petite bille métallique de masse m abandonnée dans l'air au voisinage de la terre est soumise essentiellement à quatre forces :

* La force de gravitation exercée par la terre ;

* La force d'inertie centrifuge due à la rotation propre de la terre autour de l'axe de ses pôles ;

* Les forces exercées par l'air : poussée d'Archimède et force de frottement.

Si la bille est assez dense et si sa vitesse reste faible, les forces exer­cées par l'air sont né­gligeables devant les deux autres. La somme des deux premières forces est appelé « poids » ou « force de pesanteur ». Elle peut s'exprimer par la relation vectorielle :

est appelé vecteur champ de pesanteur.

Dans un espace de dimensions faibles devant le rayon terrestre, on peut considérer que le vecteur est le même en tout point : le champ de pesanteur est alors qualifié d'uniforme.

Imaginons l'expérience suivante : on lâche simultanément trois billes éventuel­lement diffé­rentes sans leur communiquer de vitesse. Le champ de pesanteur étant uniforme, les trois billes ont la même accélération vers le bas et ont à chaque instant la même vitesse ; les distances d1 et d2 entre leurs centres ne varient pas au cours du temps. On peut imaginer de relier ces trois billes par deux élastiques, créant ainsi un objet déformable. Les élastiques ne vont pas varier de longueur au cours de la chute. On peut aussi ima­giner d'enfermer du sable dans un ballon en caou­tchouc souple : il ne se déformera pas lors d'une chute ! Conclusion : un objet déformable ne se déforme pas dans un champ de force uniforme.

I.4. Cas d'un objet dans un champ non uniforme.

L'exemple le plus simple de champ non uniforme est le champ magné­tique créé par une barre métallique aimantée (un « aimant droit »). Imaginons trois petites billes en fer identiques, alignées sur une table à quelques centimètres les unes des autres. Les billes étant maintenues immobiles sur la table avec une main, on pose sur la table avec l'autre main un aimant droit puis on en­lève la main bloquant les trois billes, celles-ci se mettant alors en mouvement simultanément. La bille la plus proche de l'aimant est davantage accélérée que la bille centrale, elle-même plus accélérée que la bille la plus éloignée de l'ai­mant : l'écart entre les billes augmente au cours du temps (avant bien sûr que les billes ne viennent en contact avec l'aimant !). On obtient : d1 > d et d2 > d. Première conclusion : le système déformable constitué des trois billes se déforme dans un champ de force non uniforme.

Imaginons maintenant l'expérience du point de vue d'un observateur fictif qui serait sur la bille centrale ; plus précisément, décrivons le mouvement dans le repère (G2XY): son origine est le centre G2 de la bille centrale et ses axes gardent des directions fixes par rapport à l'aimant. Dans ce repère, le sys­tème constitué des trois billes se déforme de la même façon mais si G3 se dé­place vers l'aimant, G1 se déplace dans le sens opposé !

De façon très générale, on appelle effets de marées les déformations d'un système provoquées par un champ de force non uniforme. La déformation du système formé des trois billes n'est pas due aux trois forces exercées par l'aimant sur les trois billes (la relation fondamentale de la dynamique appliquée au système montre que ces trois forces sont responsables du mouvement du centre G2 du système) mais aux différences existant entre ces trois forces.


II. Évaluation des forces de marée exercées par un astre sur un autre.

II.1. Évaluation des forces de marées exercées par la lune sur la terre.

Rappelons d'abord la loi de Newton ex­primant la force de gravitation exercée par un astre à symétrie sphérique de centre O et de masse M sur une particule P de masse m :

désigne un vecteur unitaire colinéaire à , et de même sens , où r désigne la dis­tance de O à P et K désigne la constante uni­verselle de gravita­tion : 6,67384.10-11m3/kg/s2. Par analogie avec le vecteur poids écrit comme le produit de la masse par un vecteur champs, on pose :

(P) désigne le vecteur champ de gravitation créé par l'astre au point P. Ainsi :

.

Un tel champ n'est pas uniforme puisqu'il diminue d'intensité en fonction de la distance : par exemple : multiplier la distance r par deux revient à diminuer l'intensité du champs, donc la force exercée sur une particule de masse m, par quatre.

Considérons maintenant le cas particulier de la terre et de la lune. Les nota­tions déjà utilisées sont rappelées sur le schéma. Le champ de gravitation est plus intense en A qu'en O et plus intense en O qu'en B. Par analogie avec ce que nous avons expliqué à propos des trois billes dans le champ magnétique, nous pouvons prévoir une déformation de la surface des océans : la surface libre de ceux-ci tend à s'allonger le long de l'axe (OOL), ce qui conduit à une marée haute au plus près de la lune mais aussi à une marée haute à l'opposé. Compte-tenu de la rotation de la terre par rapport à la lune d'un tour par jour lunaire, la durée moyenne entre deux marées hautes consécutives est d'un demi-jour lunaire soit 12h 25min 14s, ce qui est bien conforme à la réalité !

Remarque : comme souvent, la figure n'est pas a l'échelle, la distance terre - lune est très large­ment sous-estimée et la déformation de la surface de l'eau par effet de marée est très exagérée : en réalité les marées provoquent des variations de hauteur d'eau de quelques mètres seulement ; ces variations sont totalement négligeables devant RT = 6378km !

Pour évaluer l'influence des effets de marées sur un astre, on évalue la différence d'intensité entre le champ gravitationnel au centre de l'astre et le champ gravitationnel à la périphérie, le long de l'axe des centres. Ainsi la différences entre les champs créés par la lune en A et en O s'écrit :

.

Pour simplifier cette expression, on remarque que est très inférieur à 1 (en réalité 0,016 en moyenne) ; dans ces conditions, le carré de ce nombre devient négligeable devant 1 ( valeur : 0,00027). On peut ainsi poser :

.

Ainsi :

.

Remarque : en fait nous avons effectué un développement de Taylor en limité à l'ordre 2 ; plus simplement, on peut remarquer que : est très proche de (1+ 0,032).

D'où l'expression simplifiée de la différence entre les deux champs :

.

Nous pouvons de même calculer la différence entre les champ créés par la lune en O et en B :

.

Les mêmes simplifications qu'au-dessus conduisent à :

.

D'où l'expression simplifiée de la différence entre les deux champs :

.

Nous obtenons le même écart qu'entre les champs en A et en O.


II.2. Évaluation des forces de marées exercées par les autres astres.

La formule précédente peut se généraliser : les forces de marées sont proportionnelles à la masse de l'astre produisant l'effet de marée, au rayon de l'astre subissant l'effet de marée et inversement proportionnelles au cube de la distance entre les centres des deux astres. Ainsi les forces de marées exercées sur terre par le soleil sont proportion­nelles à , celles exercées par la terre sur la lune sont proportionnelles à . Ces remarques permettent de dresser un tableau comparatif de ces diffé­rentes forces en attribuant arbitrairement la valeur 1 aux effets de marées créés par la lune sur terre.


Forces de marées

créées par la lune sur la terre

créées par le soleil sur la terre

créées par la terre sur la lune

créées par le soleil sur la lune


1

0,456 = 1/2,19

22,1

0,124 = 1/8,04


Ces résultats sont cohérents avec les faits : l'influence de la lune sur les marées terrestre est prédominante (c'est la lune qui impose le rythme des marées) mais l'in­fluence du soleil n'est pas négligeable : il influence fortement les amplitudes des ma­rées. Si les axes (OOL) et (OOS) sont proches (cas des nouvelles et des pleines lunes), les effets du soleil et de la lune s'ajoutent, les marées sont de grande amplitude (ma­rées de vives eaux tous les demi-mois lunaires en moyenne) ; lorsque les deux axes sont le plus écartés (cas des deux quartiers), les effets se compensent partiellement, les marées sont de faible amplitude (marées de mortes eaux). Les amplitudes des ma­rées dépendent de nombreux autres facteurs : les saisons, les variations des distances dT-S et dT-L

Remarque : tout cela est fort bien expliqué dans l'excellent livre de Odile GUÉRIN :

« COM­PRENDRE LES MARÉES » , publié aux éditions OUEST FRANCE.


III. Théorie statique des marées.

La compréhension de cette partie demande quelques connaissances en physique et en mathéma­tiques...

III.1. Force de marée créé par la lune sur la terre.

Pour l'instant, nous négligeons l'influence du soleil : nous supposons l'ensemble {terre – lune} suffisamment loin de tout autre astre pour constituer un système isolé. Le principe d'inertie permet ainsi d'affirmer que le centre d'inertie G n'a pas d'accélé­ration par rapport à un référentiel galiléen lié à un système d'étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes. Un repère RG d'origine G dont les axes pointent vers trois étoiles très éloignées est donc galiléen. On peut donc appliquer dans ce repère la relation fondamentale de la dynamique (dite aussi : seconde loi de Newton), sachant que la seule force à prendre en compte est la force gravitationnelle exercée par la lune sur la terre :

 ; soit : .

L'accélération du centre de la terre dans ce repère barycentrique RG est donc égale à chaque instant au vecteur champ de gravitation créé par la lune au centre de la terre.

On s'intéresse maintenant aux forces exercées sur une particule P de masse m à la pé­riphérie de la terre (par exemple une goutte d'eau d'un océan), l'étude se faisant maintenant dans le repère géocentrique R, d’origine O, le centre de la terre, ces trois axes restant constamment parallèles à ceux de RG .

Considérons d'abord les forces qui existent en absence de la lune :

* La force de gravitation exercée par la terre ;

* La force d'inertie centrifuge due à la rotation propre de la terre au tour de l'axe de ses pôles ;

* Les forces exercées par l'eau et éventuellement l'air autour de la goutte d'eau étudiée.

En absence de la lune, la goutte d'eau est considérée en équilibre par rapport à la terre : la résultante de ces forces est donc nulle.

À ces forces s'ajoutent celles inhérentes à la présence de la lune :

* l'attraction gravitationnelle exercée par la lune sur la particule :  ;

* la force d'inertie due au fait que le repère géocentrique n'est plus galiléen : du fait de la présence de la lune, son origine possède une accélération non nulle. Ce repère étant en translation par rapport à RG, la force d'inertie de Coriolis est nulle ; reste la force d'inertie d'entraînement : .

Conclusion : la résultante des deux forces dues à la présence de la lune est la force de marée s'exerçant sur la particule P en présence de la lune ; elle vaut :

.

Par analogie avec les vecteurs champs de gravitation et de pesanteur, nous pouvons définir un vecteur champ de marée tel que : . Ainsi par identifica­tion :

.

La théorie confirme les observations faites paragraphe I.4 sur les déformations provo­quées par les champs non uniformes. La force de marée créé par la lune en un point P quelconque de la terre a bien pour origine la différence entre le champ de gravitation créé par la lune au point P de la terre et le champ de gravitation créé par la lune au centre de la terre.


III.2. Expression du vecteur champ de marée créé par la lune sur terre.

Nous utilisons les notations précisées sur le schéma.


.

 ;

 ;

Théorème de Pythagore généralisé ( Al-Kashi) :  ;

D'où :

.

Un développement de Taylor limité à l'ordre 2 en conduit à l'expression approchée :

.

La composante radiale du vecteur champ de marée en P est ainsi :

 ;

Soit encore :

.

 ; or est très inférieur à 1 ; est donc très inférieur à RT et peu ainsi être négligé dans l'expression de amr .

D'où finalement :

.

La composante tangentielle du vecteur champ de marée en P créé par la lune s'écrit :

 ;

soit encore :

.


Remarque 1 : le cas particuliers = 0° correspondant au zénith (point A de la figure) conduit à :

 ;

le cas particulier = 180° correspondant au nadir (point B de la figure) conduit à :

.

Compte tenu de l'orientation du vecteur unitaire , ces résultats sont cohérents avec ceux du pa­ragraphe II.1.

Remarque 2 : pour compris entre -90° et +90°, c'est-à-dire pour l'hémisphère terrestre face à la lune, la composante am est négative ; compte tenu de l'orientation du vecteur unitaire , la compo­sante tangentielle de la force de marée tend à déplacer l'eau vers la lune, donc à faire monter le ni­veau d'eau au voisinage de l'axe terre – lune , côté lune ; pour compris entre 90° et 270°, la compo­sante am est positive, la composante tangentielle de la force de marée tend à déplacer l'eau côté op­posé à la lune, donc à faire monter le niveau d'eau au voisinage de l'axe terre – lune, côté opposé à la lune, ce qui est conforme aux raisonnements du paragraphe II.1.

Remarque 3 : les forces de marées sont bien proportionnelles à la masse de l'astre créant le phéno­mène de marée, inversement proportionnelle au cube de la distance entre les centres des deux astres et proportionnelle au rayon de l'astre subissant le phénomène de marée.


La figure ci-dessus représente en rouge les composantes normale et tangentielle du vecteur champ de marée pour quelques posi­tions du point P de la surface terrestre.

III.3. Surface libre des océans en présence de la lune.

Ce calcul repose sur des hypo­thèses très simplificatrices :

* la terre est supposée parfaite­ment sphérique et recouverte d'une couche d'eau dont la hau­teur serait constante en absence de ma­rée (on néglige la surface des conti­nents alors que les mers et océans occupent en réa­lité 71 % de la sur­face terrestre  et on suppose tous les océans et mers de même pro­fondeur…) ;

* la pression exercée sur les mers et océans par l'air atmosphé­rique est partout la même (pas d'anticy­clone ou de dépression…)

* on néglige la force d'iner­tie centrifuge due à la ro­tation propre de la terre au­tour de l'axe de ses pôles devant la force de gravita­tion exercée par la terre. Cela permet de confondre le champ de pesanteur de vecteur avec le vecteur champ de gravitation créé par la terre en un point P à la surface libre des océans. Ainsi, en absence de force de ma­rée, en tout point P de la surface libre de l'eau, on obtient :

.

En présence de la lune, l'eau est soumise en plus à la force de marée qui a deux compo­santes : une composante tangentielle responsable des mouvements d'eau et une compo­sante radiale dont les effets s'ajoute à ceux du champs de pesanteur : tout se passe comme si la surface libre de l'eau était soumise à une champ de pesanteur ap­parent égal à la somme du champ de pesanteur sans la lune et du champ de marée :


La valeur du champ radial de marée est au plus égale à :

,

soit une valeur de l'ordre du dix millionième de g. Nous pouvons négliger cette compo­sante et retenir l'expression simplifiée du champ de pesanteur apparent :

.

Nous supposons l'eau en équilibre dans ce champ de pesanteur apparent ; la surface libre de l'eau est donc l'horizontale apparente du lieu, soit la perpendiculaire au vecteur (un fil à plomb en équilibre indiquerait la direction du vecteur ). Soit un déplacement élémentaire du point P à la surface libre de l'eau dans le plan de figure : (h négligeable devant RT). le vecteur est perpendiculaire au vecteur  ; le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul :

 ;

soit :

.

Remarque : la relation fondamentale de la statique des fluides permet de démontrer l'orthogonalité des vecteurs et. Si Pr désigne la pression et la masse volumique de l'eau, en tout point du liquide en équilibre, la pression vérifie : . Imaginons un déplacement élémen­taire à la surface de l'eau, tangentiellement à sa surface libre : . Or, re­présente la variation élémentaire de pression à la surface libre du liquide qui est nulle puisque la pres­sion atmosphérique est par hypothèse la même partout au niveau de l'eau. On obtient bien :.

Par intégration, on obtient :

où C est une constante que nous allons déterminer en supposant que l'eau est incompres­sible, c'est à dire de volume constant. À chaque instant, les augmentations de niveau d'eau dans les régions de marées hautes sont compensées par les diminutions dues aux marées basses dans d'autres régions du globe : la variation de volume d'eau créée par la dénivellation h est nulle à l'échelle de la terre à chaque instant. Attention : sur la figure, la hauteur d'eau due au phénomène de marée (en bleu clair) est très largement suresti­mée par rapport au rayon terrestre RT et l'angle d est infiniment petit en réalité… Com­mençons par évaluer la volume d'eau compris entre le cône de sommet O, de demi-angle au sommet , et le cône de sommet O et de demi-angle au sommet +d(voir figure au-dessus). Dans le plan de figure, l'intersection de l'espace occupé par l'eau entre ces deux cônes avec le plan de figure est constituée de deux rec­tangles élémentaires, symétriques par rapport à l'axe des centres de la terre et de la lune, dont la hauteur est h et la largeur RT.d ; l'aire élémentaire de ces rectangles est ainsi : dS = h.RT.d. La figure est inva­riante par rotation autour de l'axe des centres. Le volume d'eau élémentaire recherché est donc le produit de dS par le périmètre du cercle de rayon R = RT.sin() soit : dV = 2..R.dS = 2..h.RT2.sin().d. Le volume total V s'ob­tient en intégrant l'expression précédente entre zéro et . Ce volume devant être nul, on obtient finalement :

 ;

soit :

.

En remplaçant cos(2.) par 2.cos2() -1, on obtient :

.

.

D'où :

 ; soit : .

En reportant cette valeur dans l'expression générale de h et en remplaçant cos(2.) par 2.cos2() -1, on obtient :

.

Soit après simplification :

.




La figure ci-dessous, obtenue sous MATLAB, trace la courbe représentant les va­riations de h en fonction de . Pour plus de clarté, les va­leurs de h sont fortement exagérées par rapport au rayon terrestre.


III.4. Surface libre des océans en présence de la lune et du soleil.

L'influence du soleil, s'étudie de la même manière que celle de la lune : il suffit de rem­placer dans les calculs mL par mS et d = dT-L par dT-S . On suppose que la variation du niveau de l'eau est la somme des deux variations dues au soleil seul et à la lune seule.