Annexe n° 3 : variations saisonnières de la durée du jour solaire ; équation du temps.

 

 

Table des matières

Annexe n° 3 : variations saisonnières de la durée du jour solaire ; équation du temps.

I : Les deux causes de la variation de durée du jour solaire.

I.1. Les variations saisonnières de la vitesse du soleil.

I.2. Influence de l'excentricité de la trajectoire du soleil sur la durée du jour solaire.

I.3. Influence de l'obliquité sur la durée du jour solaire.

II : Équation du temps.

II.1. Définition de l'équation du temps.

II.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps.

II.2.1 Anomalie moyenne, anomalie excentrique, anomalie vraie, équation de Képler.

II.2.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps : équation du centre.

II.2.3 Exemple de détermination de l'équation du centre.

II.3 Influence de l'obliquité sur l'équation du temps.

II.3.1 Les coordonnées géocentriques écliptiques du soleil.

II.3.2 Les coordonnées géocentriques équatoriales du soleil.

II.3.3. Calcul de l'équation du temps.

II.4. Influence de la longitude sur l'heure solaire vraie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I : Les deux causes de la variation de durée du jour solaire.

 Nous avons vu Partie II §2 que la durée du jour solaire fluctue autour de sa valeur moyenne (24h) en fonction de la saison. Il s'agit ici d'analyser les deux causes de cette variation.

 

I.1.        Les variations saisonnières de la vitesse du soleil.

 

Conséquence de cette loi : Les distances (FS1) et (FS20) étant nettement inférieures aux distances (FS9) et (FS10) l'égalité des aires des deux secteurs « vert » et « rouge » n'est possible que parce que la distance parcourue par le centre du soleil de S9 à S10 est infé­rieure à celle parcourue de S20 à S1. Les durées de ces deux parcours étant égales, la vi­tesse entre S9 et S10 est nécessairement inférieure à celle entre S20 et S1.

 Ainsi, la vitesse du centre du soleil varie : elle est maximale au passage au périhélie  (le 4 janvier : 1,019 degré par jour) et minimale au passage à l'aphélie (le 4 juillet : 0,953 degré par jour) pour une valeur moyenne de 0,986 degré par jour.

 

I.2.        Influence de l'excentricité de la trajectoire du soleil sur la durée du jour solaire.

 On peut reprendre le raisonnement fait (Partie II.3, remarque 2) en l'adaptant à la différence entre le jour solaire (durée Js) et le jour sidéral (durée Jst). En très bonne approximation, on peut considérer la différence (Js – Jst) comme la durée nécessaire au projeté M1 du méridien de référence sur la sphère céleste à tourner de l'angle , cet angle étant celui dont tourne le soleil en un jour sidéral.

Soit S La vitesse angulaire du soleil le jour considéré (les variations de S étant très lentes, on peut considérer cette grandeur comme pratiquement constante sur un jour) :

α = Ω S Jst avec S  en tour par heure et Jst en heures.

Soit M1 la vitesse de M1 en tour par heure. On obtient :

Js Jst = α Ω M 1 = Jst Ω S Ω M 1 soit : Js = Jst ( 1 + Ω S Ω M 1 ) .

L'écart par rapport au jour solaire moyen (Jm = 24h) vaut finalement :

Js Jm = Jst ( 1 + Ω S Ω M 1 ) Jm .

 

 
 
Les éphémé­rides per­mettent le cal­cul de S . Les autres gran­deurs de la for­mule ont déjà été évo­quées. La courbe ci-des­sous représente les variations au cours de l'an­née 2015 de l'écart (Js-Jm) exprimé en se­condes. L'écart est maxi­mum lorsque le soleil a sa vitesse maximale, c'est à dire le 4 janvier ; cet écart est minimum lorsque le so­leil a sa vitesse mi­nimale, c'est à dire le 4 juillet. Cet écart varie périodiquement : on re­trouve le même écart lorsque le soleil retrouve une même position sur sa trajectoire. La période est donc égale à une année sidérale.
 

I.3.        Influence de l'obliquité sur la durée du jour solaire.

 La courbe précédente montre que l'écart (Js-Jm) dû à la seule variation de vitesse du soleil ne dépasse pas huit secondes. Or les mesures montrent que cet écart peut at­teindre 30s. Il existe donc une autre cause aux variations de durée du jour solaire !

Remarque : le raisonnement que nous allons faire présente quelques similitudes avec celui sur l'in­fluence de la précession des équinoxes sur le jour sidéral (Partie IV §3).

 

 La figure de droite correspond au solstice d'été (la partie « arrière » de l'écliptique n'est pas représentée). Dans ce cas particulier, la vitesse du soleil n'a pas de composante vers le nord ou le sud : la composante est-ouest de la vitesse du soleil représente 100 % de la vitesse réelle.

 Entre le solstice d'été et le solstice d'hiver, le raisonnement est analogue, la flèche verte étant orientée vers le sud :  à cette période de l'année, le soleil est de plus en plus bas sur l'horizon à heure fixe.

 Conséquence, dans le calcul de l'écart (Js – Jm), il faut multiplier la vitesse du soleil par un terme correctif  R :

Js Jm = Jst ( 1 + R Ω S Ω M 1 ) Jm .

 

R varie en fonction de la saison selon le tableau de variations ci-dessous :

 

Dates

Solstice

d'hiver

année A

 

Équinoxe de printemps

 

Solstice

d'été

 

Équinoxe

d'automne

 

Solstice d'hiver

année A+1

variations

1

 

 

 

1

 

 

 

1

de

 

 

 

 

 

R

 

 

0,9275

 

 

 

0,9275

 

 

 Ainsi R varie périodiquement avec une période d'une demie année tropique. Puisque (Js – Jm) augmente avec R, la contribution de l'obliquité à l'écart (Js – Jm) varie suivant un tableau de variation analogue. Cette contribution correspond à la courbe verte.

L'écart to­tal correspond à la courbe bleue. Cet écart est maximum vers le 22 décembre : cette date correspond à un maximum de R et à une valeur élevée de S car le soleil est proche du périhélie (atteint le 4 janvier).
 

Remarque : l'écart total (Jm-Js) ne varie pas de façon rigoureusement périodique dans la mesure où il fait intervenir des phénomènes de périodes différentes : année sidérale d'une part, demie année tropique d'autre part. De plus ces périodes ne sont pas égales à la durée moyenne de l'année civile. Ainsi, les maximums et minimums ne seront pas obtenus les mêmes jours du calendrier selon l'année étudiée. Ce­pendant, année tropique, année sidérale et année civile moyenne ont des durées très proches : les modifi­cations des courbes ci-dessus, d'une année à l'autre sont très faibles…

 

II : Équation du temps.

 Nous savons que l'heure solaire dépend de la longitude. Nous allons donc d'abord faire notre étude en plaçant l’observateur terrestre le long du méridien de Greenwich. Nous verrons ensuite les corrections à apporter pour des longitudes différentes.

 

II.1.        Définition de l'équation du temps.

Remarque préliminaire : le mot « équation » n'a pas ici son acception usuelle mais plutôt celle plus an­cienne de « terme correctif » à apporter à une grandeur.

        Avant la généralisation des montres, alors que les cadrans solaires étaient nom­breux, l'équation du temps (notée Et) a été définie comme la durée qu'il faut ajouter à l'heure lue sur un cadran solaire (heure solaire vraie : Hsv) pour avoir l'heure solaire moyenne Hsm (en Angleterre : heure solaire moyenne = heure légale ou heure légale moins une heure l'été) :

Hsm = Hsv + Et  soit Et = Hsm – Hsv.

D'ailleurs, la courbe annuelle d'équation du temps était souvent exposée (souvent sous forme d'analemme) à côté du cadran.

Remarque : bien que la majorité du territoire français métropolitain appartienne au fuseau horaire centré sur Greenwich, nous avons : heure légale = heure solaire moyenne de Greenwich plus une heure l'hiver et plus deux heures l'été : nous sommes restés à l'heure solaire allemande l'hiver...

L’équation du temps est une grandeur algébrique. Supposons Et > 0 : à Hsm = 12h, le cadran solaire indique une heure Hsv inférieure ; il n'est pas encore midi solaire vrai ; le soleil réel est en retard sur le soleil fictif moyen. Inversement, une valeur néga­tive de Et correspond à un soleil en avance sur le soleil moyen.

Cette définition est toujours celle adoptée en France (les anglo-saxons adoptent  la convention de signe opposé).

 

 L'équation du temps ainsi que les coordonnées des planètes du système so­laires peuvent être obtenus à l'adresse suivante : http://pgj.pagesperso-orange.fr/position-planetes.htm . De nombreux logiciels téléchargeables gratuitement permettent le calcul de Et et trace la courbe représentant les variations de Et au cours d'une année. Voici par exemple ci-des­sus le résultat obtenu avec le logiciel SHADOWS pour l'année 2015.

 

II.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps.

 Pour cette étude, nous étudions la seule influence de l'excentricité : nous supposons donc  l'obli­quité nulle : les plans de l'équateur et de l'écliptique sont considérés comme confondus. Le repère a pour origine O le centre de l'ellipse décrite par le centre du so­leil, l'axe (OX) est orienté du centre de l'ellipse vers l'aphélie. Dans un premier temps, nous allons construire cette ellipse.

 

II.2.1 Anomalie moyenne, anomalie excentrique, anomalie vraie, équation de Képler.

 

        Attention : dorénavant, en absence de précisions, les mesures d'angles seront expri­mées en radians plutôt qu'en degrés.

 

On trace également (en pointillés bleus) la trajectoire du centre Sf du soleil fictif défini page 13 du document principal. Sf tourne à vitesse angulaire constante sur un cercle de centre F et de rayon a. Il effectue un tour en une durée T égale à la durée d'un tour du so­leil réel sur son orbite elliptique. L'angle polaire entre (FX) et (FSf) est noté M et appelé anomalie moyenne. Prenons l'origine des dates à un instant où Sf coupe l'axe (OX). Si Sf tourne de 2. radians (360°) pendant la durée T, pendant la durée t il tourne de :

M = 2 π T t .

 

À ce stade, nous connaissons la trajectoire de S, nous savons positionner Sf à n'importe quel instant sur sa trajectoire circulaire, mais nous ne savons pas encore positionner S sur sa trajectoire elliptique à la date t. Pour ce faire, il faut connaître la valeur de l'angle polaire E à la date quelconque t. Nous allons appliquer la loi des aires : l'aire balayée par FS entre la date zéro et la date t doit être proportionnelle à t et la durée T doit corres­pondre à une aire balayée égale à celle délimitée par l'ellipse : .a.b . L'aire A balayée par (FS), entre les dates zéro et t (coloriée en  bleu sur le schéma) doit donc vérifier la rela­tion :

A = π a b T t .
Exprimons cette aire en fonction de l'anomalie excentrique E. Exprimons d'abord l'aire S1 du secteur circulaire de rayon a correspondant à l'arc PMc ^ . Lorsque le rayon OMC tourne d'un tour, soit 2. radians, il balaie l'aire totale du disque soit .a; lorsqu'il tourne de l'angle E (mesuré en radians), il balaie l'aire :
S 1 = π a 2 E 2 π = a 2 E 2 .

Exprimons maintenant l'aire S2 du triangle (OFMC). Cette aire est égale au demi produit de la hauteur Ymc du triangle par sa base : OF = c = a.e ;